Αρχή διατήρησης της ορμής
και διανυσματικότητα.

 

 

Ας ξεκινήσουμε με ένα πρόβλημα.

 

Το σύστημα των σωμάτων Α και Β με μάζες m1=5kg και m2=3kg ισορροπεί. Το νήμα είναι αβαρές με πολύ μεγάλο όριο θραύσεως και η τροχαλία αβαρής. Από ύψος h=1,25m αφήνεται να πέσει ένα τρίτο σώμα Γ με μάζα m3=2kg και να συγκρουσθεί πλαστικά με το σώμα Β. Να βρεθεί η ταχύτητα των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση.

Λύση:

Η ταχύτητα που έχει αποκτήσει το σώμα Γ πριν την κρούση υπολογίζεται με εφαρμογή της ΑΔΜΕ.

Καρχ +Uαρχ= Κτελ+Uτελ ή

mgh = ½ mυ2

Το σώμα Β ισορροπεί οπότε ΣF=0 ή Τ1=m2g και αφού το νήμα είναι αβαρές Τ21=m2g.

Ναι αλλά και το Α ισορροπεί, οπότε στο σώμα ασκείται και στατική τριβή με μέτρο Τρ=Τ2, όπως στο σχήμα.

Θεωρούμε αμελητέα τη διάρκεια της κρούσεως και εφαρμόζουμε για κάθε σώμα χωριστά το θεώρημα ώθησης- ορμής, λαμβάνοντας υπόψη ότι Ωw3= Ωw2= Ωτρ = F·dt0. Θεωρούμε δηλαδή αμελητέες τις ωθήσεις των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται στο σύστημα.

Για το Α, θεωρώντας θετική τη φορά προς τα δεξιά:

m1·υκ- 0 = Τ2·dt (1)

Για το Β, θεωρώντας θετική τη φορά προς τα κάτω:

m2·υκ- 0 = -Τ1·dt + F23·dt  (2)

όπου F23 η μέση δύναμη που ασκήθηκε στο σώμα Β από το Γ  στη διάρκεια της κρούσης

Για το Γ, θεωρώντας επίσης θετική τη φορά προς τα κάτω:

m3·υκ- m3·υ = - F32·dt  (3)

Με F32 την αντίδραση της F23.

Τ1 και Τ2 είναι η μέση τιμή της τάσης του νήματος που στη διάρκεια της κρούσης παίρνει μεγάλη τιμή και γι’ αυτό η ώθησή της δεν είναι αμελητέα.

Με πρόσθεση των (1), (2) και (3) κατά μέλη παίρνουμε:

(m1+m2+m3)·υκ – m3·υ=0 ή

(m1+m2+m3)·υκ = m3·υ !!! (4)

 Αρχή διατήρησης της ορμής;;;

Άρα υκ= m3·υ/( m1+m2+m3)=2·5/10 m/s= 1m/s

 

Μην βιαστούμε να πούμε ότι είναι μια πλαστική κρούση άρα ισχύει η ΑΔΟ και  παίρνουμε την (4) απευθείας. Η ορμή πριν την κρούση είναι κατακόρυφη με φορά προς τα κάτω, ενώ μετά την κρούση το σώμα Α θα κινηθεί οριζόντια, συνεπώς θα έχουμε και οριζόντια συνιστώσα της ορμής. Η ορμή λοιπόν δεν διατηρείται. (Άλλωστε στο νήμα ασκείται και μια δύναμη από την τροχαλία, που είναι εξωτερική, οπότε το σύστημα, στο οποίο περιλαμβάνεται και το νήμα, δεν είναι μονωμένο)

 

Και τότε τι αποδείξαμε;

Το ζήτημα βάζει στο τραπέζι το ερώτημα:

Τι  είναι η Αρχή Διατήρησης της Ορμής και πώς προκύπτει;

Σύμφωνα με την κλασσική Φυσική (δεν μας απασχολεί εδώ η σύγχρονη Φυσική), η ΑΔΟ είναι ένα  θεώρημα που προκύπτει από συνδυασμό του δεύτερου και του τρίτου νόμου του Νεύτωνα.

Κυρίως θέλω να τονίσω τον τρίτο Νόμο.

Επειδή η δράση και η αντίδραση είναι αντίθετες δυνάμεις. Τα πράγματα όμως μπλέκουν όταν βάλουμε στο πρόβλημα ένα ιδανικό νήμα, (χωρίς μάζα, που απλώς μεταφέρει την δύναμη) μεταξύ δύο σωμάτων, οπότε δεν υπάρχει άμεση αλληλεπίδραση, ώστε η δράση και η αντίδραση να είναι ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ, αλλά μια έμμεση μέσω του νήματος, οπότε οι ασκούμενες δυνάμεις είναι απλά ΙΣΟΥ ΜΕΤΡΟΥ. Τότε η διανυσματικότητα πάει περίπατο και η ανάλυση μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι «μπορείς να την εφαρμόσεις ουσιαστικά» για τα μέτρα των ορμών. Έτσι σε κάθε περίπτωση που μέσω νήματος αλλάζει η κατεύθυνση της δύναμης αλληλεπίδρασης, ΠΡΑΚΤΙΚΑ «μπορεί να εφαρμοστεί» η διατήρηση της ορμής για τα μέτρα των ταχυτήτων.

(Βέβαια αν εφαρμόζαμε όχι την ΑΔΟ, αλλά την Αρχή διατήρησης της στροφορμής, δεν θα είχαμε πρόβλημα)

Και εδώ προκύπτει ένα δεύτερο ερώτημα:

Όλα αυτά τα λέμε στους μαθητές μας; Ή εφαρμόζουμε την ΑΔΟ στα σιωπηλά. Η προσωπική μου άποψη είναι ότι πρέπει να αποφεύγονται τέτοιες ασκήσεις από την διδασκαλία μας. Χρειάζεται πολύς κόπος για να πεισθούν οι μαθητές να εφαρμόζουν την διατήρηση της ορμής, αντιμετωπίζοντάς την σαν διάνυσμα. Δεν υπάρχει λόγος να γκρεμίσουμε, με μια άσκηση, ότι με πολύ προσπάθεια κτίζουμε για μεγάλο διάστημα…

 

dmargaris@sch.gr