Εξίσωση κύματος

Μερικές παρεξηγήσεις:

· Η πηγή του κύματος βρίσκεται στη θέση x=0.

· Πρέπει να δίνεται η  εξίσωση ταλάντωσης της πηγής του κύματος και με βάση αυτή, βρίσκουμε την εξίσωση του κύματος.

Και η αλήθεια…..

· Η πηγή μπορεί να είναι οπουδήποτε και όχι μόνο στη θέση x=0.

· Μπορεί να δίνεται η εξίσωση ταλάντωσης κάποιου (οποιουδήποτε) σημείου και με βάση την πληροφορία αυτή βρίσκουμε την εξίσωση του κύματος.

Ας τα παρακολουθήσουμε με τη βοήθεια παραδειγμάτων ξεκινώντας από το πώς βρίσκουμε την εξίσωση ενός κύματος:

1)  Πώς προκύπτει η εξίσωση του σχολικού βιβλίου:

y= Aημ2π(t/Τ+x/λ)    (1)

για ένα κύμα που διαδίδεται προς τ’ αριστερά;

Παίρνουμε σαν δεδομένο ότι το σημείο που βρίσκεται στη θέση x=0 του ελαστικού μέσου ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση:

y = Aημωt

Δηλαδή θεωρούμε ότι για t=0 το σημείο στη θέση Ο με x=0, περνά από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση.

Για ένα τυχαίο σημείο Σ που βρίσκεται στη θέση x, δεξιά του Ο, η εξίσωση ταλάντωσής του θα είναι της μορφής:

y= Aημω(t+t₁)     (2)

όπου t₁ το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το κύμα να φτάσει από το Σ στο Ο.  Αυτό συμβαίνει επειδή το σημείο Σ έχει αρχίσει την ταλάντωσή του πριν από το σημείο Ο, άρα έχει και μεγαλύτερο χρόνο ταλάντωσης.

Αλλά t₁=x/υ  όπου υ η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Έτσι η εξίσωση (2) γίνεται:

y= A ημ[ 2π/Τ (t+x/υ)] = Αημ2π(t/Τ+x/λ)

Προσοχή: Η εξίσωση του βιβλίου ισχύει λοιπόν, μόνο αν ικανοποιούνται όλες οι προηγούμενες προϋποθέσεις, αλλιώς θα εφαρμόζουμε τις παραπάνω ιδέες προσαρμοσμένες στα δεδομένα μας.

Παράδειγμα 1^ο:

Ένα κύμα διαδίδεται από αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου με ταχύτητα υ=2m/s. Ένα σημείο Ρ βρίσκεται στη θέση x₁=4m και ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση:

y = 0,2ημ2πt   (S.Ι.)

Να βρεθεί η εξίσωση του κύματος.

Απάντηση:

· Θα πρέπει βρούμε την εξίσωση ταλάντωσης ενός τυχαίου σημείου του μέσου που βρίσκεται στη θέση x. Έστω ότι αυτό το σημείο είναι το Σ αριστερά του Ρ.

Το κύμα για να διαδοθεί από το Ρ στο Σ χρειάζεται χρόνο:

t₁=Δx/υ =(4-x)/υ

οπότε το σημείο ταλαντώνεται λιγότερο χρόνο από ότι το σημείο Ρ και έτσι η εξίσωση ταλάντωσής του είναι:

y= 0,2ημ2π(t-t₁) =0,2ημ2π[t-(4-x)/υ]  ή

y= 0,2 ημ2π(t+x/2-2)   (S.Ι)

· Θα μπορούσε βέβαια κάποιος να θέλει να βρει την εξίσωση ταλάντωσης ενός τυχαίου σημείου Τ που βρίσκεται δεξιά του Ρ.

Τώρα το κύμα φτάνει πρώτα στο σημείο Τ, οπότε αυτό θα ταλαντώνεται επιπλέον για χρονικό διάστημα t₂= Δx/υ=(x-4)/υ, οπότε η εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Τ θα είναι:

y= 0,2 ημ2π(t+t₂) = 0,2 ημ2π[t+ (x-4)/υ] οπότε:

y= 0,2 ημ 2π(t+x/2-2)  (S.Ι.)

έχουμε βρει ξανά την εξίσωση του κύματος. Προσέξτε ότι παρ’ ότι φαίνεται ότι χρησιμοποιούμε διαφορετικά χρονικά διαστήματα (την πρώτη φορά αφαιρέσαμε, την άλλη προσθέσαμε κάποιο χρονικό διάστημα) το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Αρκεί να είμαστε συνεπείς στην απόδειξη για την εξίσωση του κύματος.

Παράδειγμα 2ο:

H πηγή ενός κύματος βρίσκεται στη θέση x₁=6m και ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y= 0,1 ημ2πt  (S.Ι), οπότε δημιουργούνται κύματα με μήκος κύματος λ=2m, τα οποία διαδίδονται και προς τις δύο κατευθύνσεις.

α) Να βρεθούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που δημιουργούνται.

β) Να σχεδιάστε στιγμιότυπο των δύο κυμάτων, στο ίδιο διάγραμμα τη χρονική στιγμή t₁=2s.

γ)  Να βρεθεί η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων Β και Γ που βρίσκονται στις θέσεις x_Β=4m και x_Γ=8m.

Απάντηση:

α) Από την εξίσωση ταλάντωσης της πηγής έχουμε Τ=1s, οπότε υ=λ/Τ=2m/s.

Για το κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά θα έχουμε:

y₁= 0,1ημ2π(t-t₁) = 0,1ημ2π[t-(x-6)/υ] =0,1ημ2π(t-x/2+3)  (S.Ι.)

Για το κύμα που διαδίδεται προς τ’ αριστερά αντίστοιχα θα έχουμε:

y₂=0,1ημ2π(t-t₂) =0,1ημ2π[t-(6-x)/υ] = 0,1 ημ2π(t+x/2-3)  (S.Ι.)

Παρατηρείστε ότι και στις δύο περιπτώσεις αφαιρέσαμε από το χρόνο t κάποιο χρονικό διάστημα, αφού το κύμα καθυστερεί να φτάσει σε κάποιο σημείο, είτε αυτό είναι δεξιά, είτε αριστερά της πηγής. Βέβαια τελικά οι δύο εξισώσεις που προκύπτουν έχουν τα πρόσημα που περιμέναμε.

Για το κύμα προς τα δεξιά φάση φ₁=1ημ2π(t-x/2+3)   ενώ

Για το κύμα προς τ’  αριστερά φ₂=1ημ2π(t+x/2-3).

β)  Για το κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά, αντικαθιστώντας t=2s παίρνουμε:

y₁= 0,1ημ2π(2-x/2+3) = 0,1 ημ(10π-πx) = -0,1ημπx

και το κύμα έχει διαδοθεί κατά Δx=υ·t=2·2m=4m, οπότε θα έχει φτάσει στη θέση x_max=6m+4m=10m.

Ενώ αντίστοιχα για το κύμα προς τ’ αριστερά  αντικαθιστώντας t=2s παίρνουμε:

y₁= 0,1ημ2π(2+x/2-3) = 0,1 ημ(-25+πx) = 0,1 ημπx

και το κύμα έχει διαδοθεί κατά Δx=υ·t=2·2m=4m, προς τ’ αριστερά οπότε θα έχει φτάσει στη θέση:  x_max= 2m.

Έτσι η μορφή του μέσου είναι αυτή του παρακάτω σχήματος.

Με μαύρη γραμμή το κύμα προς τα δεξιά και με κόκκινη το κύμα προς τ’ αριστερά.

γ) Για τη διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Β και Γ παίρνουμε:

φ_Β-φ_Γ = 2π(2+x/2-3) - 2π(2+x/2-3) =4π+πx-6π-4π-πx+6π=0

Παρατηρείστε ότι δεξιά και αριστερά της πηγής η κατάσταση είναι ακριβώς η ίδια. Η μορφή είναι απολύτως συμμετρική ως προς την πηγή.

· Μπορείτε να κατεβάσετε (για καλύτερη απόδοση) το αρχείο σε  pdf.

· Και αν έχουμε ένα κύμα που διαδίδετε σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο και μας δίνουν την μορφή του και τη στιγμή t=0 φτάνει σε ένα ορισμένο σημείο, πώς μπορούμε να βρούμε την εξίσωση που ικανοποιεί;
Δείτε μια αναλυτική μελέτη από τον συνάδελφο κ. Παπαδήμα Γεώργιο σε pdf.

dmargaris@sch.gr