Στάσιμο κύμα από ανάκλαση.

Να ξεκινήσουμε με ένα ερώτημα:

Πότε ισχύει η γνωστή εξίσωση του βιβλίου

η οποία περιγράφει ένα στάσιμο κύμα;

Η εξίσωση αυτή προκύπτει με βάση την αρχή της επαλληλίας για δύο κύματα με εξισώσεις:

Η εξίσωση (1) ισχύει με την προϋπόθεση ότι το σημείο στη θέση x=0, για t=0, y=0 και υ>0 ή με λόγια με την προϋπόθεση ότι το σημείο στη θέση x=0 για t=0 περνά από τη θέση ισορροπίας κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση.

Με τις ίδιες προϋποθέσεις ισχύει και η εξίσωση (2) για το κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά.

Ας προσέξουμε ότι δεν αναφερόμαστε για τη θέση που βρίσκεται η πηγή, αλλά μόνο για το τι συμβαίνει σε ένα σημείο για το οποίο παίρνουμε αυθαίρετα x=0 και στο οποίο σημείο εξ ορισμού θα δημιουργείται ΚΟΙΛΙΑ.

Το σχήμα του βιβλίου (σχ.2.16) που δείχνει ανάκλαση κύματος σε σταθερό σημείο, προφανώς δεν σχετίζεται με την απόδειξη του βιβλίου.

Τι συμβαίνει στην περίπτωση που ένα κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής, ξεκινώντας από το ένα της άκρο Ο, στο οποίο βρίσκεται η πηγή του κύματος και που το άλλο της άκρο Γ είναι σταθερό;

Συνήθως αναφέρεται ότι στο σταθερό άκρο Γ, συμβαίνει ανάκλαση, όπου το ανακλώμενο κύμα παρουσιάζει διαφορά φάσης ίση με π με το προσπίπτον κύμα.

Αυτό άλλωστε υπονοεί και το σχολικό βιβλίο με βάση την ερμηνεία του σχήματος 2.15.

Οπότε η εξίσωση για το κύμα προς τα αριστερά συνήθως γράφεται:

Πότε ισχύει η (3); Η εξίσωση αυτή ισχύει μόνον όταν στη θέση x=0 για t=0 το υλικό σημείο περνά από την θέση ισορροπίας του κινούμενο προς την αρνητική κατεύθυνση.

 

 

Είναι έτσι τα πράγματα;

Αυτό συμβαίνει πάνω σε μια χορδή, το ένα άκρο της οποίας είναι δεμένο, ενώ το άλλο τίθεται σε ταλάντωση;

Ας μελετήσουμε το θέμα, με λίγη περισσότερη προσοχή.

Έστω ότι στο ελεύθερο άκρο Ο μιας χορδής (που παίρνουμε x=0) μήκους L, το άλλο άκρο της οποίας Γ είναι σταθερό, υπάρχει μια πηγή κύματος με αποτέλεσμα το άκρο Ο να αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση:

y= A ημ ωt με περίοδο Τα και κατά μήκος της χορδής διαδίδεται ένα κύμα με ταχύτητα υ.

Ποια είναι η εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Σ που βρίσκεται στη θέση x;

Το σημείο Σ ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y=Αημω(t-t1) όπου t1 το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το κύμα να φτάσει στο σημείο Σ, δηλαδή t1=x/υ, οπότε:

Αυτή είναι η εξίσωση του κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά.

Παίρνοντας τώρα την απομάκρυνση του σημείου Γ, εξαιτίας αυτού του κύματος και θέτοντας x=L, βρίσκουμε ότι το σημείο Γ θα ταλαντωθεί σύμφωνα με την εξίσωση:

και θα λειτουργήσει σαν πηγή για το κύμα που θα διαδοθεί προς τα αριστερά και το οποίο θα εμφανίσει και διαφορά φάσης π, λόγω ανάκλασης.

Ας βρούμε τώρα την εξίσωση για το κύμα που διαδίδεται προς τα αριστερά.

Ξαναπαίρνουμε το τυχαίο σημείο Σ, στη θέση x. Στο σημείο αυτό θα φτάσει ένα κύμα από αριστερά το οποίο θα έχει διαφορά φάσης π με το πρώτο κύμα, λόγω ανάκλασης, ενώ θα έχει την ίδια εξίσωση με το σημείο Γ, απλά θα καθυστερήσει να ταλαντωθεί κατά t2 και θα έχει εξίσωση ταλάντωσης:

όπου t2 το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να φτάσει το ανακλώμενο κύμα από το σημείο Γ στο Σ. Αλλά

Άρα

από όπου βρίσκουμε την εξίσωση του κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά.

Με βάση τώρα την αρχή της επαλληλίας βρίσκουμε το αποτέλεσμα της συμβολής των κυμάτων που περιγράφονται από τις εξισώσεις (4) και (6).

 

Συνεπώς η εξίσωση του στάσιμου κύματος που δημιουργείται στην χορδή είναι:

Από την παραπάνω εξίσωση φαίνεται ότι το πλάτος ταλάντωσης των διαφόρων σημείων του μέσου εξαρτάται όχι μόνο από τη θέση τους x αλλά και από το μήκος L της χορδής.

Ας μελετήσουμε τα συμπεράσματα που προκύπτουν από την εξίσωση (7) σε κάποιες περιπτώσεις με βάση το μήκος της χορδής.

 

Παράδειγμα 1ο:

Έστω μια χορδή με μήκος L=3m όπως στο σχήμα, όπου το άκρο Ο τίθεται σε κατακόρυφη ταλάντωση με πλάτος Α περίοδο Τ=1s και μήκος κύματος λ=2m.

Α) Τι δημιουργείται στη θέση x=0, δεσμός ή κοιλία;

Β) Να σχεδιαστούν στιγμιότυπα της χορδής τις χρονικές στιγμές:  
   α) t1 = 2 s,    β) t2 = 3,5s και γ) t3= 4s.

Απάντηση:

Α) Με αντικατάσταση στην (7) L=3m παίρνουμε:

 

Το πλάτος ταλάντωσης είναι Α΄= |2Α ημ(3π-πx| οπότε για x=0,  Α’ =0, δηλαδή στη θέση της πηγής δημιουργείται ΔΕΣΜΟΣ.

Β) α) Το κύμα χρειάζεται χρόνο t΄=L/υ =3/2s = 1,5 s για να φτάσει στο άκρο Γ, οπότε σε 0,5s ακόμη το ανακλώμενο κύμα επιστρέφει κατά Δx=υt=1m. Κατά συνέπεια από η θέση x=0 μέχρι τη θέση x=2m διαδίδεται μόνο το κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά. Έτσι με αντικατάσταση στην (4) παίρνουμε:

y= A ημ2π(t-x/2) =Αημ(4π-πx) =-Αημπx.

Με αντικατάσταση στην (8) t= 2 s παίρνουμε:

y= 2A ημπx·συν(4π-3π) =2 Α ημπx συνπ = -2Α ημπx.

Η μορφή της χορδής είναι λοιπόν αυτή του παρακάτω σχήματος.

β) Τη χρονική στιγμή t1=3,5s το ανακλώμενο κύμα έχει φτάσει στο άκρο Ο, οπότε έχει σχηματισθεί στάσιμο κύμα κατά μήκος όλης της χορδής. Με αντικατάσταση στην (8) παίρνουμε:

y= 2A ημπx ·συν(2π·3,5-3π)=  2A ημπx ·συν(4π) =2 Α ημπx

και το στιγμιότυπο είναι το (1) στο παρακάτω σχήμα.

γ)  Για t=4s με αντικατάσταση στην (7) παίρνουμε:

y= 2A ημπx ·συν(2π·4-3π)= y= 2A ημπx ·συν(5π) = -2 Α ημπx

και το στιγμιότυπο είναι το (2) στο παρακάτω σχήμα.

 

Παράδειγμα 2ο:

Έστω τώρα ότι η παραπάνω χορδή έχει μήκος L=3,5m

Α) Τι δημιουργείται στη θέση x=0, δεσμός ή κοιλία;

Β) Να σχεδιαστούν στιγμιότυπα της χορδής τις χρονικές στιγμές:  
   α) t1 = 4 s  και   β) t2 = 4,25s.

Απάντηση:

Α) Με αντικατάσταση στην (7) L=3,5m παίρνουμε:

οπότε το πλάτος ταλάντωσης των διαφόρων σημείων της χορδής είναι:

Α΄=|2Ασυνπx| και για x=0 παίρνουμε Α΄= 2 Α. Τώρα στη θέση x=0 δημιουργείται ΚΟΙΛΙΑ.

Β)  α) Με αντικατάσταση στην (9) t=4s θα έχουμε:

y = 2 Α συνπx·ημ(2π·4)=  2 Α συνπx·ημ 8π =0

Τη στιγμή αυτή δηλαδή όλα τα σημεία περνάνε από τη θέση ισορροπίας τους.

β) Με αντικατάσταση στην (9) t=4,25s θα έχουμε:

y = 2 Α συνπx·ημ(2π·4,25)=2 Α συνπx· ημ(8,5π) =  2 Α συνπx και στο παρακάτω  διάγραμμα (2) φαίνεται η μορφή του μέσου.

 

Συμπέρασμα:

Βλέπουμε με βάση τα παραπάνω ότι ανάλογα με το μήκος της χορδής ( και προφανώς σε συνδυασμό  με το μήκος του κύματος), σε μια χορδή με σταθερό το ένα άκρο της, όταν τεθεί σε ταλάντωση το άλλο ελεύθερο άκρο της, τότε στο άκρο αυτό, μπορεί να δημιουργηθεί είτε δεσμός είτε κοιλία. Το πρόβλημα θέλει αναλυτική μελέτη και δεν πρέπει, ελαφρά τη καρδία, να εφαρμόζουμε τις εξισώσεις του βιβλίου.

Θα το κάνουμε μόνο αν, από την εκφώνηση φαίνεται ότι για x=0 έχουμε κοιλία, χωρίς να αναφερόμαστε σε ανάκλαση και χωρίς να μας ενδιαφέρει πού είναι οι πηγές των κυμάτων.

 

dmargaris@sch.gr