Η ιστορία

του «ευρωπαίου» Calculus

Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

Πάντοτε οι μαθηματικοί αντιμετώπιζαν προβλήματα με δύσκολη λύση. Το να βρουν κάποιο μέγιστο ή ελάχιστο, το να υπολογίσουν το εμβαδόν μιας επιφάνειας οριοθετημένης από κάποια καμπύλη, το να προσδιορίσουν μία εφαπτομένη ή να υπολογίσουν έναν όγκο ήταν ορισμένα μόνο από αυτά. Αυτού του είδους τα προβλήματα τα αντιμετώπιζαν καθένα χωριστά έτσι που κάθε λύση ήταν μοναδική και μόνο για το συγκεκριμένο πρόβλημα. Μία γενική λύση για όλα τα πιθανά προβλήματα δεν μπορούσε να βρεθεί. Ο Isαac Newton και ο Gottfried Leibniz θεωρούνται οι «εφευρέτες» του Calculus. Επινόησαν γενικές έννοιες τις οποίες συνέδεσαν με τα βασικά προβλήματα του λογισμού.

Οι έννοιες της διαφόρισης

Στα τέλη της δεκαετίας του 1620 ο Pierre de Fermat ανακάλυψε μια γενική λύση για να προσδιορίζει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης. Η ιδέα του προερχόταν από τον Johann Kepler ο οποίος είχε αποδείξει ότι το μέγιστου όγκου παραλληλεπίπεδο που μπορεί να εγγραφεί σε μια σφαίρα είναι κύβος. Ερεύνησε ένα πλήθος από σφαίρες διαφόρων ακτίνων και αντίστοιχα παραλληλεπίπεδα διαφόρων υψών και ευκαιριακά διαπίστωνε ότι κοντά στο μέγιστο του όγκου οι μειώσεις σε ύψος γίνονταν τόσο μικρές που οι τιμές ήταν πρακτικά ίσες με μηδέν. Η μέθοδος του Fermat ήταν γεωμετρική και κατά συνέπεια εμπεριείχε πολλές υποθέσεις οι οποίες δεν θα ίσχυαν όταν θα εκφραζόταν με όρους αλγεβρικούς. Δεν είχε καταφέρει επίσης να δείξει εάν οι λύσεις είναι δύο ή περισσότερες. Αργότερα τροποποίησε τη μέθοδό του έτσι ώστε να χρησιμοποιεί τον προσδιορισμό της εφαπτομένης.

Αυτά συνέβαιναν πριν από την έλευση της Αναλυτικής Γεωμετρίας, το 1637, και η μέθοδος ήταν ακραιφνώς γεωμετρική γι αυτό και επικρίθηκε από τον Rene Descartes ο οποίος βασιζόμενος αναλυτική γεωμετρία είχε βρει μια μέθοδο για τον προσδιορισμό της καθέτου η οποία θα μπορούσε να αναστραφεί και να οδηγήσει σε μέθοδο για τον προσδιορισμό της εφαπτομένης. Αυτός ήταν και ο ένας λόγος για τον οποίο υπήρξε επικριτικός στην εργασία του Fermat.

Λίγο αργότερα ο Gilles Persone de Roberval ανακάλυψε μια «κινηματική» μέθοδο για τον προσδιορισμό της εφαπτομένης θεωρώντας την καμπύλη ως τροχιά κινούμενου υλικού σημείου. Η μέθοδός του όμως ήταν πολύπλοκη και η εφαρμογή της γινόταν βαρετή.

Ο Johann Hudde απλοποίησε τη μέθοδο και ευκαιριακά βρήκε ότι η εφαπτομένη της συνάρτησης y = xn είναι η nxn^-1

Θα μπορούσαμε να πούμε ότι η γενική μέθοδος για τον προσδιορισμό της εφαπτομένης είχε βρεθεί.

Οι έννοιες της ολοκλήρωσης

Οι εργασίες των Ελλήνων και των Αράβων μαθηματικών περιείχαν ελάχιστα για τον προσδιορισμό του εμβαδών και όγκων περιοχών οριοθετημένων από καμπύλες γραμμές και καμπύλες επιφάνειες. Μια ιδέα όμως η οποία άντεχε στις δοκιμασίες ήταν ότι «η περιοχή έπρεπε να τεμαχιστεί σε μικρά κομματάκια γνωστού εμβαδού ή όγκου». Ο Kepler ανέπτυξε τη μέθοδο των απείρως μικρών, χωρίζοντας τον κύκλο σε πολύ μικρά τρίγωνα και τη σφαίρα σε πολύ λεπτούς δίσκους. Ο Γαλιλαίος χρησιμοποίησε τη μέθοδο των αδιαίρετων σύμφωνα με την οποία ένα γεωμετρικό αντικείμενο αποτελείται από αντικείμενα μιας κατώτερης διάστασης. Εκείνος όμως που ανέπτυξε μια πλήρη θεωρία των απειροστών ήταν ο Bonaventura Cavalieri. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδό του κατέληξε ευκαιριακά στο να υπολογίσει ότι το εμβαδόν κατω από μια καμπύλη y = xk είναι ίσο με

Ένας ακόμα Ιταλός που εργάστηκε πάνω σε αυτά ήταν ο Evangelista Torricelli αλλά το κυρίαρχο ζήτημα γι αυτόν ήταν οι όγκοι στερεών που προέρχονται από περιστροφή. Απέδειξε ότι η όταν η υπερβολή xy = k² περιστρέφεται περί τον άξονα y από y = α έως το άπειρο, ο όγκος που δημιουργείται είναι πεπερασμένος. Την ίδια περίπου εποχή στην ίδια «ανακάλυψη» με τον Cavalieri οδηγήθηκαν και οι Fermat, Pascal, Roberval και Torricelli. Ο Fermat χρησιμοποίησε μια μέθοδο για τον υπολογισμό εμβαδών κάτω από την υπερβολή. Ο John Wallis ερεύνησε το ζήτημα εισάγοντας και κλασματικούς εκθέτες και υπολογίζοντας το εμβαδόν κάτω από καμπύλες y = x^p/qε με p/q < 0 . Τον ερέθισε μάλιστα η αδυναμία να προσδιορίσει το εμβαδόν κάτω από την υπερβολή y = x^-k, με τον ίδιο τρόπο που υπολόγιζε το εμβαδόν στην περίπτωση y = x^-1.

Isaac Newton

Είναι τεκμηριωμένο ότι ο Νεύτων εμπνεύστηκε από τον Ευκλείδη και από τον Descartes

Ο Isαac Barrow καθηγητής του Newton, είχε αναπτύξει διάφορες θεωρίες τόσο για την εφαπτομένη μιας καμπύλης όσο και για τον υπολογισμό μηκών και εμβαδών. Οι θεωρίες αυτές καθοδήγησαν τον Newton να αναπτύξει τη δική του πρόταση για τις fluxions και τα fluents που σήμερα λέγεται differential calculus - ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Χρησιμοποίησε τις ιδέες αυτές για να ΠΕΡΙΓΡΑΨΕΙ το φαινόμενο ΚΙΝΗΣΗ. Οι αλγόριθμοί του Τα μέγιστα και τα ελάχιστα ήταν τα επόμενα προβλήματα με τα οποία καταπιάστηκε. Πολλές από τις ιδέες του αναπτύχθηκαν μέσα από τις έννοιες των δυναμοσειρών. Μία από αυτές είναι το περίφημο ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

(α+β)ⁿ = αⁿ +n_/1 α^n-1β + n(n-1)_/1.2 α^n-2β² + n(n-1)(n-2) _/1.2.3 α^n-3β³+ . .

το οποίο απέδειξε μελετώντας τα πρότυπα στις δυναμοσειρές. Ο Newton εξήγησε και ανέπτυξε τα θεωρήματα του Barrow για τον υπολογισμό εμβαδών επιφανειών. Συσχέτισε την παραγώγιση και την ολοκλήρωση θεωρώντας τες αντίστροφες διεργασίες. Το διασημότερο έργο του είναι βέβαια το Philosophiae Naturalis Principia Mathematica στο οποίο γράφει τόσο για τον Calculus όσο και για τη Φυσική

.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Ο Leibniz είναι ο «άλλος». Διεκδίκησε τόσο αυτός όσο και ο Newton την πατρότητα της μεγάλης ανακάλυψης. Η σύγκρουση ενέπλεξε και άλλους ευρωπαίους μαθηματικούς και τελικά το πρόβλημα της πατρότητας έμεινε άλυτο. Ο Leibniz είχε επηρεαστεί από το έργο του Pascal.

Ο συμβολισμός τον οποίο πρότεινε για τον Calculus και στον οποίο οι Γερμανοί επέμειναν – συγκρινόμενος με τον αντίστοιχο του Newton – είναι οπωσδήποτε απλούστερος γι αυτό και τελικώς επεκράτησε. Ένα από τα προβλήματα με τα οποία καταπιάστηκε ήταν το να προσδιορίσει την εξίσωση μιας καμπύλης βασιζόμενος στις ιδιότητες των εφαπτομένων της. Ενδεχομένως αναγνώρισε ότι η μέθοδος είναι η ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ κάνοντας έτσι τη σύνδεση ανάμεσα στην παραγώγιση ( διαφόριση ) και στην ολοκλήρωση. Το σύμβολο ò που χρησιμοποιούμε σήμερα για το ολοκλήρωμα προτάθηκε από εκείνον και είναι πιθανόν ότι ο ίδιος επέβαλε και ολόκληρο τον σύγχρονο συμβολισμό

Ένα άλλο ζήτημα που ερεύνησε είναι το εάν είναι σωστό το d (xy) = dx.dy για να καταλήξει στο ότι είναι ΛΑΘΟΣ και το σωστό είναι d (xy) = ydx + xdy. Ανάλογο ερώτημα έθεσε και για το d (x/y) για να οδηγηθεί και σε αυτή την περίπτωση στο σημερα αποδεκτό. Απέδειξε επίσης ότι – σύμφωνα με τη σημειολογία της δικής του εποχής- d(xn) = nxn^-1 . Καταπιάστηκε επίσης με τα μέγιστα και τα ελάχιστα καθώς και με διαφορικές εξισώσεις.

η μετά τους Newton και Leibniz εποχή

Λίγο πριν το τέλος του αιώνα ( 1696) ο Guillaume Francois l'Hospital έγραψε ένα περίφημο κείμενο πάνω Calculus. «Ανάλυση σε απείρως μικρές ποσότητες για την κατανόηση των καμπυλών» Σε αυτό αναφέρεται στα απειροστά, σε διαφορικό τρίγωνο και στην λογαριθμική καμπύλη. Ανέπτυξε επίσης μια πιο γενική version για τη λύση των προβλημάτων με μέγιστα και ελάχιστα. Το πιο γνωστό έργο του είναι ο λεγόμενος «ΚΑΝΟΝΑΣ l'Hospital» με τον οποίο μπορεί κανείς να προσδιορίζει τα όρια κάποιων πηλίκων σε περίπτωση που το όριο και του αριθμητή και του παρονομαστή είναι μηδέν

Ο Humphry Ditton και ο Charles Hayes εργάστηκαν στον διαφορικό λογισμό των εκθετικών και των λογαριθμικών συναρτήσεων

Ο Jean d'Alembert ήταν ο πρώτος που διέκρινε ότι το θεμελιώδες στον Calculus είναι η θεωρία των ορίων. Εξέφρασε την παράγωγο ως ΟΡΙΟ του πηλίκου των μεταβολών ή σε πιο σύγχρονη σημειολογία

Στο μεταξύ η εφαρμογή του διαφορικού λογισμού σε τριγωνομετρικές συναρτήσεις καθυστερούσε. Και αυτό μέχρι την εποχή που έκανε την εμφάνισή του

ο Leonhard Euler ο οποίος ενδιαφέρθηκε ιδιαίτερα για το καινούριο ευρωπαϊκή ανακάλυψη που ήταν ο Calculus. Βρήκε τη λύση για την παραγώγιση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, ενώ επι πλέον παρουσίασε τη συνάρτηση του ημιτόνου και του συνημιτόνου ως δυναμοσειρά.