Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας

1. Η ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ α. η ΓΛΩΣΣΑ β. η ΔΙΑΠΛΟΚΗ του συγκεκριμένου με το αφαιρετικό

2. η ΑΝΑΛΥΣΗ α. τα ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ β. τα ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ γ. οι ΕΝΝΟΙΕΣ δ. οι ΝΟΜΟΙ

3. η ΛΥΣΗ α. η ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ β. η ΜΕΘΟΔΟΣ γ. η ΑΛΓΕΒΡΑ μέσα από «βλέμμα» ΦΥΣΙΚΗΣ

Ένα ξύλινο αντικείμενο μάζας 100 g ακινητεί πάνω στη λεία επιφάνεια ενός τραπεζιού, δεμένο στη μία άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς 300 N/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι στερεωμένη σε ακίνητο στέλεχος, στο άκρο του τραπεζιού. Ένα βλήμα μάζας 20 g κινούμενο οριζόντια κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, με ταχύτητα 30m/s, ενσφηνώνεται στο ξύλινο αντικείμενο και δημιουργείται ένα συσσωμάτωμα. Αναφερόμενοι σε αυτό το συσσωμάτωμα σας ζητούμε να υπολογίσετε

α. την ταχύτητά του αμέσως μετά την ενσφήνωση

β. τη χρονική διάρκεια της κίνησής του από τη στιγμή της ενσφήνωσης μέχρι τη στιγμή που θα μηδενιστεί η ταχύτητά του για πρώτη φορά.

γ. το διάστημα που θα διανύσει μέχρι να σταματήσει στιγμιαία για πρώτη φορά και

Το συσσωμάτωμα να θεωρηθεί υλικό σημείο. Η διάρκεια της ενσφήνωσης να θεωρηθεί αμελητέα

( Η ανάλυση ενός προβλήματος Φυσικής φέρνει στο φως κυρίως ΥΛΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ, ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ, ΕΝΝΟΙΕΣ και ΝΟΜΟΥΣ)

Τα ΥΛΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ

Το ξύλινο αντικείμενο,

το βλήμα,

το ελατήριο,

το τραπέζι

Τα ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ

Η ενσφήνωση

Η κίνηση του συσσωματώματος πάνω στο τραπέζι.

Η συσπείρωση του ελατηρίου

Οι ΕΝΝΟΙΕΣ

( Οι έννοιες που εμφανίζονται σε ένα πρόβλημα Φυσικής ( Έννοιες / μεγέθη, έννοιες χωρίς ποσοτικό χαρακτήρα, γεωμετρικές έννοιες, έννοιες/ μοντέλα ) είναι δυο ειδών. Είναι ΕΚΕΙΝΕΣ που προκύπτουν εμφανώς από την «εκφώνηση» και οι ΑΛΛΕΣ, χωρίς τις οποίες ένα πρόβλημα Φυσικής δεν μπορεί να είναι ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Είναι οι έννοιες εκείνες τις οποίες πρέπει να επινοήσουμε, ώστε αξιοποιώντας τες να οδηγηθούμε στη ΛΥΣΗ. Στις περισσότερες των περιπτώσεων τις βρίσκουμε μετά την διατύπωση των Νόμων που θα χρειαστούν για τη ΛΥΣΗ)

ι. Οι έννοιες που προκύπτουν από τη διατύπωση του προβλήματος

Η ταχύτητα του βλήματος πριν την ενσφήνωση Για την αλγεβρική τιμή της επιλέγουμε τον συμβολισμό υ

η μάζα του βλήματος, επιλέγουμε τον συμβολισμό m

η μάζα του ξύλινου αντικειμένου επιλέγουμε τον συμβολισμό M

η σταθερά του ελατηρίου επιλέγουμε τον συμβολισμό k

η ζητούμενη ταχύτητα μετά την ενσφήνωση Για την αλγεβρική τιμή της επιλέγουμε τον συμβολισμό V

το ζητούμενο διάστημα επιλέγουμε τον συμβολισμό d

η ζητούμενη χρονική διάρκεια επιλέγουμε τον συμβολισμό t

ιι. Οι έννοιες που χρειάζεται να επινοηθούν

η ορμή του βλήματος επιλέγουμε τον συμβολισμό m

η ορμή του συσσωματώματος μετά την ενσφήνωση V

η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος μετά την ενσφήνωση

η δυναμική ενέργεια του ταλαντωτή συσσωμάτωμα

η αρμονική ταλάντωση του συσσωματώματος

η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος μετά την ενσφήνωση

η δυναμική ενέργεια του ταλαντωτή συσσωμάτωμα

η θέση ισορροπίας του αρμονικού ταλαντωτή επιλέγουμε τον συμβολισμό Ο

το άκρο της αρμονικής ταλάντωσης επιλέγουμε τον συμβολισμό Α

η περίοδος της αρμονικής ταλάντωσης επιλέγουμε τον συμβολισμό Τ

Οι ΝΟΜΟΙ

Η Αρχή της διατήρησης της ορμής του συστήματος βλήμα- αντικείμενο

Η διατήρηση της ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή

Ο δεύτερος νόμος του Newton

Ο νόμος του Hooke

H σχέση F = - Dx για την αρμονική ταλάντωση.

ΑΝΑΓΚΑΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ

Το συσσωμάτωμα είναι ταλαντωτής

Το συσσωμάτωμα είναι αρμονικός ταλαντωτής

Το σημείο στο οποίο γίνεται η ενσφήνωση είναι ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ του ΤΑΛΑΝΤΩΤΗ

Το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η ταχύτητα είναι άκρο της ταλάντωσης

Η ορμή ενός υλικού σημείου είναι ίση με το γινόμενο της μάζας του επί την ταχύτητά του

Η κινητική ενέργεια ενός υλικού σημείου, μάζας m και ταχύτητας υ είναι ίση με ½ mυ²

Η ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή είναι ίση με ½ mDx².

1. Αναζητώντας την τιμή της ταχύτητας

η ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ μας πρέπει να βασιστεί

στην αναγνώριση του ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ ενσφήνωση

στην ιδέα του να χρησιμοποιηθεί η ΕΝΝΟΙΑ ορμή η οποία δεν εμφανίζεται ούτε στα δεδομένα ούτε στα ζητούμενα του προβλήματος

και να εφαρμοστεί ο σχετικός ΝΟΜΟΣ διατήρησης, δεδομένου ότι σε ένα φαινόμενο τέτοιου χαρακτήρα διατηρείται η ορμή του συστήματος.

Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ. Για το φαινόμενο «ενσφήνωση του βλήματος στο ξύλο»

εφαρμόζουμε την Αρχή της διατήρησης της ορμής.

Η γενικός αυτός Νόμος ΑΦΟΡΑ σε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ ΣΥΣΤΗΜΑ εφόσον δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις.

Εμείς τον ΕΦΑΡΜΟΖΟΥΜΕ στο ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ( ΞΥΛΟ-ΒΛΗΜΑ) κατά τη διάρκεια του φαινομένου ενσφήνωση.

Νομιμοποιούμαστε να το κάνουμε διότι, κατά τη χρονικά ελάχιστη διάρκεια της ενσφήνωσης, στο συγκεκριμένο σύστημα. δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις. Υποτίθεται η ενσφήνωση διαρκεί τόσο λίγο ώστε το ελατήριο, το οποίο μόλις συμπιεστεί ασκεί δύναμη, δεν προλαβαίνει να συμπιεστεί.

η ΜΕΘΟΔΟΣ.

Το «η ορμή του συστήματος ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ»

το ΜΕΤΑΦΡΑΖΟΥΜΕ σε

«οποιαδήποτε χρονική στιγμή του φαινομένου ενσφήνωση η ορμή του συστήματος ΕΙΝΑΙ ΙΣΗ με την ορμή του συστήματος μία οποιαδήποτε άλλη στιγμή».

ΕΠΙΛΕΓΟΥΜΕ ΔΥΟ χρονικές στιγμές,

την «τελευταία» στιγμή πριν αρχίσει η ενσφήνωση και

την «πρώτη» χρονική στιγμή μετά την ενσφήνωση

ΕΠΙΛΕΓΟΥΜΕ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ με άξονα x κατά την κατεύθυνση της ταχύτητας, και

ΕΞΙΣΩΝΟΥΜΕ τις αντίστοιχες ορμές.

η ΦΥΣΙΚΗ μέσα από την ΑΛΓΕΒΡΑ. Εφόσον πρόκειται για διανύσματα με την ίδια διεύθυνση εξισώνουμε τις αντίστοιχες αλγεβρικές τιμές τους και έχουμε μπροστά μας την ισότητα

mυ = (m + Μ ) V

Για τις ανάγκες του προβλήματος, την ισότητα αυτή τη «βλέπουμε» ως αλγεβρική εξίσωση πρώτου βαθμού με άγνωστο τον V

mυ = (m + Μ )V

Λύνουμε την εξίσωση ως προς τον άγνωστο V οπότε V = mυ/(m + Μ)

Αντικαθιστώντας στο S.I. παίρνουμε V = 5 m/s.

2. Αναζητώντας τη χρονική διάρκεια t

η ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ μας βασίζεται

στη ΕΣΤΙΑΣΗ της σκέψης μας στο ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΚΙΝΗΣΗ (του συσσωματώματος) και ειδικότερα

στην ΥΠΟΨΙΑ ότι η κίνηση αυτή είναι ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ και, εφόσον η υποψία αποδειχθεί βάσιμη, στην ΙΔΕΑ ότι η ζητούμενη χρονική διάρκεια είναι το ¼ της Περιόδου, με συνέπεια η προσπάθεια μας να επικεντρωθεί τελικά στον υπολογισμό της τιμής της Περιόδου

Δύο τουλάχιστον στοιχεία του προβλήματος ενισχύουν την ΥΠΟΨΙΑ μας για αρμονική ταλάντωση . Το ένα είναι η σύνδεση του συσσωματώματος με το ελατήριο και το άλλο η απουσία τριβών .

Το συσσωμάτωμα, λόγω της σύνδεσής του με το ελατήριο και λόγω της θέσης του στο οριζόντιο τραπέζι φαίνεται να είναι ταλαντωτής αλλά το ότι είναι ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ πρέπει να το αποδείξουμε. Χρειαζόμαστε μία ΜΕΘΟΔΟ.

η ΜΕΘΟΔΟΣ.

Ο ΣΤΟΧΟΣ

Για να δείξουμε ότι η συγκεκριμένη ευθύγραμμη κίνηση είναι ΑΡΜΟΝΙΚΉ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ πρέπει να θέσουμε ως στόχο το να αποδείξουμε ότι

σε κάθε στιγμή της κίνησης η συνισταμένη των ασκουμένων δυνάμεων στο συσσωμάτωμα έχει δύο «προσόντα»

α. Έχει τιμή ανάλογη προς την θέση (απομάκρυνση) x και

β. Έχει κατεύθυνση αντίθετη εκείνης της x.

Για να το καταφέρουμε χρειάζεται προηγουμένως να αναζητήσουμε το ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ που θα μπορούσε να είναι θέση ισορροπίας και να επιλέξουμε ένα κατάλληλο inertial reference frame

ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΣΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ. Το σημείο Ο στο οποίο γίνεται η ενσφήνωση, είναι το μοναδικό ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ που θα μπορούσε να είναι η θέση ισορροπίας του ταλαντωτή. Αν βρεθεί ΕΚΕΙ το συσσωμάτωμα, το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος και δεν ασκεί δύναμη με συνέπεια όλες οι ασκούμενες δυνάμεις να ισορροπούν.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ. Επιλέγουμε inertial reference frame (αδρανειακό Σύστημα Αναφοράς) με Αρχή των αξόνων τη ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Ο και έτσι ώστε ο άξονας x να συμπίπτει με την τροχιά και να έχει θετική φορά προς την κατεύθυνση της ταχύτητας του συσσωματώματος.

ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ των ΕΝΝΟΙΩΝ «ΑΣΚΟΥΜΕΝΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ» και «ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗ». Επιλέγουμε μία ΤΥΧΑΙΑ στιγμή της κίνησης και την αντίστοιχη τυχαία θέση του ταλαντωτή .

Οφείλει να είναι «τυχαία» διότι αυτό που θα ισχύει για την τυχαία (στιγμή και θέση) θα ισχύει για ΚΑΘΕ ΣΤΙΓΜΗ και για ΚΑΘΕ ΘΕΣΗ.

Σε μία λοιπόν ΤΥΧΑΙΑ στιγμή της κίνησης, «ΕΝΤΕΛΩΣ ΤΥΧΑΙΑ», «τόσο τυχαία που η απομάκρυνση να είναι x», σημειώνουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο συσσωμάτωμα.

Είναι το βάρος του, η κάθετη αντίδραση που του ασκεί η επιφάνεια του τραπεζιού και η δύναμη που του ασκεί το ελατήριο. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η δύναμη του ελατηρίου είναι η συνισταμένη όλων των ασκουμένων δυνάμεων, δεδομένου ότι κάθετη αντίδραση και βάρος ισορροπούν.

H κατεύθυνση της δύναμης που ασκεί το ελατήριο είναι τέτοια ώστε να τείνει (το ελατήριο ) να επανέλθει στο φυσικό του μήκος. Κατευθύνεται λοιπόν προς το μέρος του συσσωματώματος, προς τη θέση δηλαδή της ισορροπίας, είναι αντίθετη συνεπώς από εκείνη του διανύσματος x .

Υποθέτουμε ότι κατά την τυχαία αυτή στιγμή της κίνησης η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι ΔL

ΕΦΑΡΜΟΖΟΥΜΕ τον νόμο του Hooke. Σύμφωνα με αυτόν το μέτρο της ασκούμενης δύναμης είναι ίσο με το γινόμενο k ΔL.

η ΦΥΣΙΚΗ μέσα από την ΑΛΓΕΒΡΑ. Η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι ίση, κατά μέτρο, με την απομάκρυνση x. Αν λοιπόν επιλέξουμε το σύμβολο F για την ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΤΙΜΗ ΤΗΣ ΣΥΝΙΣΤΑΜΕΝΗΣ ΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ θα ισχύει

F = - kx

Κατά την εφαρμογή μιας οποιασδήποτε στρατηγικής, για τη λύση ενός προβλήματος, ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ,

έχοντας μπροστά μας μία ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΧΕΣΗ, ΝΑ ΞΕΧΝΑΜΕ ΤΗ ΦΥΣΙΚΗ.

Αν φέρουμε στη σκέψη μας τη ΦΥΣΙΚΗ του φαινομένου, θα αναγνωρίσουμε ότι, κατά την εξέλιξή του, από τις τρεις ποσότητες F, k και x που συμμετέχουν στην αλγεβρική αυτή σχέση η μία, η k, διατηρείται σταθερή και οι δύο άλλες, F και x , μεταβάλλονται.

Την αλγεβρική λοιπόν αυτή σχέση, σύμφωνα με την εξέλιξη του φαινομένου, οφείλουμε να τη «βλέπουμε» ως μία ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ δύο μεταβλητών F και x

F = - kx

Η συνάρτηση αυτή μας λέει ότι

η τιμή της F είναι ΑΝΑΛΟΓΗ προς εκείνη της x αλλά και ότι

η κατεύθυνση της F είναι αντίθετη από εκείνη της x .

Το συμπέρασμα είναι σαφές.

Η ευθύγραμμη κίνηση του συσσωματώματος είναι ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ.

Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ. Εφόσον αποδείξαμε ότι η κίνηση του συσσωματώματος είναι Αρμονική Ταλάντωση, για την ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ αυτή κίνηση ΘΑ ΙΣΧΥΕΙ, ΟΤΙ ΙΣΧΥΕΙ ΓΙΑ ΟΛΕΣ τις ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Με κατάλληλη επιλογή της αρχής των χρόνων ισχύει

x = Aημωt, υ = Αωσυνωt α=- ω²Αημωt α=- ω²x και με εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα (F=(m+M)α

F= -(m+M)ω²x

Με το βλέμμα ενός φυσικού ο οποίος έχει στη σκέψη του κάποιο ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ - είτε το ΓΕΝΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ είτε το ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΟ- η σχέση στην οποία καταλήγουμε έχει χαρακτήρα ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ με μεταβλητές το F και το x και σταθερή την ποσότητα (m+M)ω²

F= -(m+M)ω²x

Επιστρέφοντας στα προηγούμενα διαπιστώνουμε ότι στο συγκεκριμένο φαινόμενο

η ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ k παίζει το ρόλο της ΣΤΑΘΕΡΑΣ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ

η οποία είναι ίση με (m+M)ω² . Αυτό περιγράφεται αλγεβρικά με την ισότητα

k = (m+M)ω²

και εφόσον ω=2π/Τ προκύπτει k = (m+M)4π²/Τ².

Την ισότητα αυτή, για τις ανάγκες του προβλήματος, οφείλουμε να τη «δούμε» ως μία ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ δευτέρου βαθμού με άγνωστο το Τ

k = (m+M)4π²/Τ²

Τη λύνουμε ως προς Τ, κάνουμε αποδεκτή μόνο τη θετική ρίζα και έχουμε

T = 2π √m+M)/k. Η ζητούμενη, συνεπώς χρονική διάρκεια θα είναι ίση με t =½π √(m+M)/k.

Αντικαθιστώντας στο S.I. παίρνουμε t = π.10^-2 s t= 0,031 s

3. Αναζητώντας το «διάστημα»

η ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ μας

Εφόσον πλέον γνωρίζουμε πως η κίνηση είναι ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ

η ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ μας θα μπορούσε να βασιστεί στην ιδέα του να χρησιμοποιήσουμε την έννοια ΕΝΕΡΓΕΙΑ, δεδομένου ότι η ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΑ ΚΙΝΗΣΗ κατά την οποία Η ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ. .

Και έχουμε λόγους να δικαιολογήσουμε αυτή την επιλογή. Γνωρίζουμε την τιμή της μάζας και μία τιμή στιγμιαίας ταχύτητας με τις οποίες μπορούμε να υπολογίσουμε την κινητική ενέργεια του αντικειμένου σε μία χρονική στιγμή και ξέρουμε ότι η συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας εμπεριέχει την απόσταση από τη θέση ισορροπίας. Η επιλογή μας αυτή βασίζεται και σε μία γόνιμη ιδέα

(Μία γόνιμη ιδέα. Εφόσον η κίνηση του συσσωματώματος είναι ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ με ΘΕΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ το ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ στο οποίο έγινε η ενσφήνωση η ζητούμενη απόσταση είναι, για τον ταλαντωτή, μία «απόσταση από τη θέση ισορροπίας» )

η ΜΕΘΟΔΟΣ. Εφόσον η κίνηση του συσσωματώματος είναι ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ η ενέργεια του κινουμένου συσσωματώματος διατηρείται σταθερή .

Το «η ενέργεια του ταλαντωτή ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ» τα ΜΕΤΑΦΡΑΖΟΥΜΕ σε

«οποιαδήποτε χρονική στιγμή του φαινομένου ενσφήνωση η ενέργεια του ταλαντωτή ΕΙΝΑΙ ΙΣΗ με την ο ενέργεια του ταλαντωτή μία οποιαδήποτε άλλη στιγμή».

Εξισώσουμε τις τιμές της ενέργειας σε δύο στιγμές τις οποίες θα ΕΠΙΛΕΞΟΥΜΕ και αυτό με σκοπό να προκύψει μία εξίσωση με μοναδικός άγνωστο τη ζητούμενη απόσταση.

Επιλέγουμε ως πρώτη στιγμή εκείνη που το συσσωμάτωμα είχε ταχύτητα V και

ως δεύτερη στιγμή εκείνη κατά την οποία μηδενίστηκε η ταχύτητά του.

½ (m+M)V² + 0 = 0 + ½ Dd²

η ΦΥΣΙΚΗ μέσα από την ΑΛΓΕΒΡΑ. Την ισότητα αυτή, για τις ανάγκες του προβλήματος, πρέπει να τη «δούμε» ως μία ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ δευτέρου βαθμού με άγνωστο το d

½ (m+M)V² + 0 = 0 + ½ Dd²

Τη λύνουμε ως προς τον άγνωστο και, για το ζητούμενο του προβλήματος, αποδεχόμαστε τη θετική ρίζα

d = +V√(m+M)/ D και εφόσον η ΣΤΑΘΕΡΑ, D, ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ D να είναι, όπως αποδείξαμε, ίση με τη ΣΤΑΘΕΡΑ, k, ΤΟΥ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ, θα έχουμε

d = V√(m+M)/ k Αντικαθιστώντας στο S.I. παίρνουμε d = 0,1 m.

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι για τον υπολογισμό της απόστασης d είτε βασιζόμενοι στην έννοια ενέργεια είτε μη βασιζόμενοι στην έννοια αυτή.