This page uses JavaSketchpad, a World-Wide-Web component of The Geometer's Sketchpad. Copyright © 1990-2001 by KCP Technologies, Inc. Licensed only for non-commercial use.
Η ανισότητα του Cauchy για δύο αριθμούς
Ξέρουμε(;) ότι αριθμητικός μέσος Μα δύο θετικών αριθμών είναι ο μέσος όρος τους
(το ημιάθροισμά τους). Δηλ
M_α=\frac {α+β}{2}
Γεωμετρικός μέσος ή μέσος ανάλογος ο Μg:
M_g=\sqrt {α\cdot β}
Και αρμονικός μέσος ο Μh:
M_h=\frac {2αβ}{α+β}
Κατά την ανισότητα Cauchy είναι:
M_h \leq M_g \leq M_α
κάτι που είναι πολύ εύκολο να αποδειχθεί με άλγεβρα από τους μαθητές της Α Λυκείου (ή και μικρότερους).
Χωρίς μια γεωμετρική ερμηνεία όμως τη θυμόμαστε;
Δείτε προσεκτικά το σχήμα και συνεχίζουμε.
Ανισότητα Cauchy
Έχουμε κατασκευάσει το τμήμα ΟΑ=α και το τμήμα ΟΒ=β, και τον κύκλο διαμέτρου ΑΒ που συναντά
την κάθετη ΟΜ στο Μ. Επίσης φέραμε και το ύψος ΟΗ του τριγώνου ΟΚΜ
Ο αριθμητικός μέσος των α και β δηλαδή το ημιάθροισμά τους είναι το μήκος της ακτίνας του κύκλου.
Ο γεωμετρικός μέσος των α και β είναι το μήκος ΜΟ γιατί στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΜΑ (βλέπει διάμετρο) ισχύει:
ΟΜ^2=ΟΒ \cdot ΟΑ \text { άρα } ΟΜ= \sqrt{OA \cdot OB}=\sqrt{αβ}
Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΜ η ΜΗ είναι προβολή της ΜΟ στην υποτείνουσα οπότε:
ΜΗ \cdot MK = OM^2 \Leftrightarrow ΜΗ \cdot \frac {a+b}{2}=α \cdot β \Leftrightarrow
MH=\frac {2αβ}{α+β}
Άρα το μήκος της ΜΗ αντιπροσωπεύει τον αρμονικό μέσο των α και Β και επειδή
ΜΗ \leq ΜΟ \leq ΜΚ \text{ ισχύει: } Μ_h \leq Μ_g \leq Μ_α
Αλλάξτε τιμές στα α και β αλλάζοντας ύψος στα ευθύγραμμα τμήματα Dα, Εβ.
Πότε ισχύει η ισότητα;